Судебное землеустройство

Применение формулы Брахмагупты для вычисления максимально возможной площади четырехугольного земельного участка при производстве судебной землеустроительной экспертизы

Применение формулы Брахмагупты для вычисления максимально возможной площади четырехугольного земельного участка при производстве судебной землеустроительной экспертизы  // Землеустройство, кадастр и мониторинг земель. – 2022. – № 4. – С. 271-279. – DOI 10.33920/sel-04-2204-05. – EDN GXSIIZ.

 

DOI 10.33920/sel-04-2203-08

УДК 528.46

Применение формулы Брахмагупты для вычисления максимально возможной площади четырехугольного земельного участка при производстве судебной землеустроительной экспертизы

Аннотация. В статье рассмотрены правовые аспекты понятия «земельный участок». Обозначена встречающаяся в практике проблема выявления соотношения линейных размеров и величины площади в правоподтверждающих документах на земельные участки при производстве судебной землеустроительной экспертизы. Обосновано применение формулы Брахмагупты для определения площади четырехугольника по известным длинам его сторон для случая, когда четырехугольник необязательно вписан в окружность. Приведено авторское доказательство о вычислении по данной формуле максимально возможной площади четырехугольника, не требуя того, что указанный четырехугольник вписан в окружность.

Ключевые слова: судебная землеустроительная экспертиза; землеустроительная экспертиза; земельный участок; площадь земельного участка; формула Брахмагупты.

Summary. The article discusses the legal aspects “land plot” concept. The determining relationship problem between the linear dimensions and the area in the land plots title deeds in the production of the forensic land management expertise is indicated. The use of Brahmagupta's formula for calculating the area of a quadrilateral by its sides lengths for not inscribed in a circle case is substantiated. The author's proof of the calculation maximum possible arbitrary quadrilateral area by this formula is given.

Keywords: forensic land management expertise; land management expertise; land plot; land area; Brahmagupta formula.

В статье 6 Земельного кодекса Российской Федерации от 25.10.2001 № 136-ФЗ (далее –  Земельный кодекс РФ) дано определение понятия «земельный участок». Согласно данному определению земельные участи отнесены к недвижимым вещам. Между тем, они в силу своих природных свойств таковыми не являются. Исходя из философских воззрений, вещь – это отдельный тип сущего, единица материального мира, обладающая пространственными, физическими характеристиками (т.е. телом) и продолженная во времени (что выражается в процессе изменений), представленная через явления и самотождественна на всем промежутке своего существования, что обеспечивается ее неизменной сущностью [1, с. 81].

Юридическое воззрение на вещи во многом схоже с философским, но имеет свою специфику. Под вещами понимают материальные физически осязаемые объекты, имеющие экономические свойства товара [7, с. 299]. А.Н. Лысенко выделяет у вещей юридически значимые свойства: материальность; доступность для обладания; способность удовлетворять потребности людей (быть полезными, ценными); телесность (иметь определенные границы). В правовой доктрине вещи являются объектами правоотношений не сами по себе (как предметы материального мира), а в связи с тем, что право в соответствии с различными их свойствами признает за ними значение объектов права, устанавливая определенные правовые последствия для отношений людей, складывающихся по поводу использования этих вещей [6, с. 138]. Таким образом, одним из основных юридических свойств любой вещи (как объекта имущественных отношений) является телесность, обусловленная наличием пространственно определяемых границ.

Земельные участки, будучи частями земной поверхности, не имеют объективных признаков для их обособления и не могут существовать вне сознания человека. О.И. Крассов отмечает, что правовые явления и объективно существующая реальность очень часто не совпадают, а признание земельного участка в качестве вещи – это юридическая фикция [4, с. 11]. С.А. Липски высказывает точку зрения, что поскольку по российскому законодательству можно двояко толковать статус неразмежеванных земель (они недвижимое имущество согласно Земельному кодексу РФ, но не признаются таковым в частном праве), тогда как земельные участки – безусловно, недвижимость, следовательно, при образовании нового участка происходит возникновение имущества из того, что имуществом не является [5, с. 22]. Справедливо суждение Кристиана фон Бара, что земельные участки существуют только в рамках концепции вещных прав и являются плодом юридического воображения, воплощаемого в юридических нормах [12, с. 115]. Придание земельным участкам присущего свойства вещи – телесности – происходит принудительно установлением пространственных пределов, на которые распространяется правовой режим земельного участка [9].

В соответствии с логикой Федерального закона от 13.07.2015 № 218-ФЗ «О государственной регистрации недвижимости» (далее – Закон о регистрации недвижимости) земельные участки делятся на две группы: ранее учтенные и учтенные. К первой группе относятся все земельные участки, образованные до 01.03.2008 г., в том числе введенные в оборот в период земельной реформы 1990-х гг. [2, с. 238]. Особенность таких участков в том, что большинство из них при образовании и при введении в оборот не имели документально зафиксированных характеристик, позволяющих однозначно определить земельный участок как индивидуально определенную вещь, или точность этих характеристик не соответствует установленной в настоящее время. Кадастровый учет таких земельных участков в настоящее время осуществляется в порядке учета изменений индивидуализирующих характеристик.

Принципы определения местоположения ранее учтенных земельных участков установлены в ч. 10 ст. 22 Закона о регистрации недвижимости, в частности границы определяются исходя из сведений, содержащихся в документе, подтверждающем право на земельный участок. Только при отсутствии этих сведений местоположение может определяться исходя из других критериев, также установленных законом.

Проблем, связанных с толкованием данной нормы, несколько. Во-первых, ни на нормативном уровне, ни в науке, ни в практике не выработан исчерпывающий перечень видов документов, на которые указывается в данной норме. Во-вторых, не урегулирован вопрос о составе сведений, связанных с определением местоположения границ, их достоверности и приоритете одних над другими в случае наличия противоречий. В утвержденных формах государственных актов и свидетельств о правах на земельные участки, выдававшихся в 1990-е гг., было предусмотрено отражать и площади, и графические изображения с указанием величин отрезков границ, и некоторые другие сведения.

Сами по себе значения площади и размеров границ не позволяют однозначно определить пространственные границы земельных участков, поскольку может существовать бесчисленное множество земельных участков различной геометрической формы с различным местоположением, имеющих одинаковые площадь и размеры. Однако Закон справедливо придает этим характеристикам важное юридическое значение. В совокупности с другими признаками эти сведения могут дать конкретику о пространственной определенности земельного участка. В этой правовой конструкции площадь имеет неоднозначное значение. С одной стороны, она является функцией, вычисляемой по результатам измерений участка. С другой стороны, площадь выступает объективным критерием для определения пространственных пределов земельного участка при образовании в соответствии с установленными нормами предоставления, при выделе доли в натуре и в ряде других случаев. При наличии противоречий между сведениями о площади и размерами границ в правоподтверждающих документах приоритет может быть определен только на основе диалектического рассмотрения всех обстоятельств дела.

Существование ранее учтенных земельных участков и присущие им проблемы, связанные с определением границ, порождают возникновение большого количества земельных споров. Правильное разрешение судами споров о местоположение границ земельных участков не может проводиться без привлечения специальных знаний в области землеустройства и смежных дисциплин [10]. В таких спорах на разрешение судебной землеустроительной экспертизы часто ставятся вопросы по определению соответствия границ, закрепленных на местности, содержащихся в ЕГРН и иных источниках, сведениям, содержащимся в документе, подтверждающем право на земельный участок.

Судебная землеустроительная экспертиза как род судебных экспертиз является относительно молодой. Теоретико-методологическая база в настоящее время отсутствует, нет актуальных методик и рекомендаций по проведению соответствующих экспертных исследований [8]. Многие авторы обращают внимание на повышение значимости судебной землеустроительной экспертизы [11]. Между тем, при проведении исследований по обозначенному выше вопросу одной из подзадач является выяснение соотношения площади земельного участка, указанной в правоподтверждающем документе, и размеров границ, указанных в этом же документе. Однако такое исследование обычно является экспертной инициативой. Эксперт вправе выяснить это обстоятельство, но не обязан (ч. 2 ст. 86 ГПК РФ). Однако эти сведения имеют важное значение для правильного рассмотрения споров в тех случаях, когда указанные характеристики не соотносятся друг с другом.

В практике авторов настоящей статьи такие случаи не являются редкостью. Форма земельных участков может быть разнообразна и соответственно могут применяться различные методы исследования вышеобозначенного соотношения. Наиболее распространенной формой земельных участков в правоподтверждающих документах является четырехугольник. Рассмотрим один из способов исследования на примере.

Для проведения экспертизы представлено свидетельство о праве собственности на четырехугольный земельный участок площадью 665 кв. м. от 15.11.93  по форме, утвержденной постановлением Правительства РФ от 19.03.1992 № 177. На оборотной стороне свидетельства изображен план участка, содержащий длины сторон по периметру (рис. 1). Очевидно, что площадь земельного участка вычислена как произведение средних значений длин противоположных сторон:

Такой расчет математически не обоснован. Результат этих действий не отражает ни максимально возможную площадь четырехугольника с заданными сторонами, ни реальную площадь измеренного участка. И такой подход к определению площадей в документах о правах на землю, выданных в 90-е гг., наблюдается повсеместно.

Рис. 1. План границ земельного участка

Очевидно, что по длинам сторон четырехугольника невозможно определить реальное значение его площади. Для этого требуются значения длин всех четырех сторон и а) либо длина одной из его диагоналей, а при невозможности ее измерения – длина секущей линии между выбранными створовыми точками на смежных сторонах; б) либо величина любого угла.

При массовой и спешной приватизации земельных участков в 90-е гг. для определения размеров и площадей земельных участков в основном проводились линейные измерения, поскольку данный способ доступен широкому кругу лиц и не требует специальных знаний, навыков и оборудования, в отличие от измерений участков с определением угловых величин. При этом стоит отметить, что измерить диагонали на застроенных участках зачастую невозможно, а измерение длин секущих по неизвестным причинам никогда не проводилось.

Если известны только длины сторон четырехугольника, площадь полученной фигуры может колебаться в широком диапазоне. Например, площадь квадрата со стороной 1 м равна 1 кв. м., но площадь получаемого из него «растягиванием» за противоположные вершины ромба будет тем меньше, чем сильнее растягивание (рис. 2).

Рис. 2. Сравнение площадей ромба и квадрата с одинаковыми длинами сторон

Это связано с тем, что, в отличие от треугольника, в котором стороны жестко зафиксированы друг другом, в четырехугольнике такой фиксации нет, что позволяет располагать их различными способами, получая разные формы и, соответственно, площади. Однако имеется возможность рассчитать максимальную площадь четырехугольника по длинам четырех его сторон:

где:

 – площадь четырехугольника;

 – величина полупериметра четырехугольника ( );

 – длины сторон четырехугольника.

В рассматриваемом случае:

Таким образом, максимально возможная площадь по размерам границ, указанным в свидетельстве о праве собственности на участок, составляет 648,34 кв. м., что на 16,4 кв. м. меньше площади, указанной в этом же документе. Следовательно, площадь и размеры земельного участка, указанные в свидетельстве, не соотносятся между собой. На этом исследование судебного эксперта-землеустроителя нельзя завершать, необходимо проведение и других операций с применением различным методов и приемов. Но выявленные несоответствия в совокупности с другими обстоятельствами являются необходимыми критериями для обоснования вариантов установления границ между спорными земельными участками.

На практике со стороны судей и спорящих сторон часто возникает недоверие к расчетам: действительно ли данная формула позволяет определить максимально возможную площадь.

С древних времен приведенная формула известна как формула Брахмагупты, обобщающая формулу Герона для площади треугольника, заданного своими сторонами. Однако эта формула выведена математиком для вычисления площади четырехугольника, вписанного в окружность [3, с. 73]. Между тем доказательств того, что эта формула определяет именно максимально возможную площадь для четырехугольника, составленного из сторон заданной длины, нами не обнаружено. Приводим доказательство, полученное нами.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD с известными длинами его сторон и углами a и b при вершинах B  и D . Найдем его площадь, используя лишь длины сторон, а также определим условие, при котором площадь будет максимальной при заданных длинах сторон. В отличие от случая, рассмотренного Брахмагуптой, нами рассматривается произвольный четырехугольник, необязательно вписанный в окружность.

 

Рис. 3. Произвольный четырехугольник ABCD

Площади ABC и CDA найдем, используя градусные меры углов a и b:

Поэтому площадь четырехугольника ABCD будет равна:

Используя теорему косинусов, найдем длину диагонали CA в ABC и AC в CDA:

Последние два равенства из (4) позволяют получить связь между величинами углов a и b и длинами сторон четырехугольника ABCD:

Или:

Приведем равенство (3) к виду:

Для дальнейших рассуждений нам необходимо возвести равенства (6) и (7) в квадрат, а потом сложить получившиеся результаты. Данная операция необходима для упрощения левых частей (6) и (7) и не приведет к появлению дополнительных решений. Возведем в квадрат равенство (6):

Равенство (7):

Сложим получившиеся равенства (8) и (9). Сумма левых частей:

Сумма правых частей:

Используя основное тригонометрическое тождество ( ), выражение (11) можно преобразовать к виду:

Используя формулу косинуса суммы углов ( ), окончательно получаем:

Формула (13) позволяет получить численное значение максимальной площади для произвольного выпуклого четырехугольника, заданного длинами своих сторон. Для этого выразим из равенства (13) слагаемое :

В выражении (14) все слагаемые и множители, кроме , являются константами, т. е. они известны изначально и не изменяются для четырехугольника, заданного длинами своих сторон, поэтому значение величины  от них не зависит [в (14) входят длины сторон четырехугольника , которые даны по условию задачи]. На величину  влияет только третье слагаемое: . Поэтому  будет наибольшим, если третье слагаемое примет максимально возможное значение. Первые пять множителей третьего слагаемого ( ) положительны, но перед ним стоит знак минус, следовательно,  примет наибольшее значение, когда  достигнет минимального значения. Область значений функции  лежит в пределах , поэтому  достигает максимального значения при

Равенство (15) показывает, какой должна быть связь между углами a и b. Функция косинус принимает значение «-1» только для углов вида:

Для выпуклого четырехугольника внутренние углы лежат в пределах , поэтому:

Выразим из равенства (17) b через a:

и подставим это значение в равенство (5):

Так как , то:

Из (20) найдем выражение для :

Выражение (21) позволяет получить численное значение для угла α  такое, чтобы площадь четырехугольника, заданного своими сторонами, была максимальной. Убедимся в верности полученного результата. Так как функция  принимает значения лишь из диапазона , то правая часть равенства (21) должна удовлетворять следующему двойному неравенству:

Рассмотрим правое неравенство. Так как знаменатель дроби строго больше нуля (все входящие в слагаемые множители строго положительны), умножим обе части на него:

Откуда:

Раскрыв разность квадратов, окончательно получим:

Используя неравенство четырехугольника, накладывающее ограничения на длины его сторон (каждая из них не может быть больше сумм трех других), получаем, что значение в первой скобке отрицательное, а во второй – положительное, что говорит о верности неравенства. Проделаем аналогичные рассуждения и для левого неравенства. Получим:

Откуда:

Окончательно:

Исходя из неравенства четырехугольника, оба множителя в (28) положительные, что также означает верность данного неравенства, значит, подтверждает верность сделанных выше предположений. Приведенные рассуждения показывают возможность нахождения таких углов a и b, что площадь образованного сторонами a, b, c, d четырехугольника будет максимальной.

Подставим значение  из (15) в (14):

Откуда:

Или:

Стоит отметить, что при извлечении квадратного корня результат должен быть записан как со знаком плюс, так и со знаком минус [например, , так как при возведении и +2, и -2 в квадрат получится 4], но по условию задачи  – это площадь четырехугольника, которая не может быть отрицательной. Кроме того, заметим, что если  достигает максимума, то и  также достигнет максимума при тех же условиях, что и .

Воспользовавшись формулой разности квадратов и преобразовав выражение, получим:

Введя обозначение для полупериметра четырехугольника ABCD:

окончательно получим:

Полученный результат совпадает с формулой Брахмагупты, поэтому по данной формуле определяется именно максимально возможная площадь четырехугольника по известным длинам его сторон. Таким образом, экспертам, проводящим судебные землеустроительные экспертизы, описанный прием исследования необходимо взять на вооружение.

Библиографический список

1. Демичева А.С. Философская специфика категории «вещь» // Исторические, философские, политические и юридические науки, культурология и искусствоведение. Вопросы теории и практики. – 2015. – № 10-1(60). – С. 78–81.
2. Землякова Г.Л. Формирование кадастровых сведений о земельных участках как основы управления в сфере использования и охраны земель: проблемы теории и практики: дисс. …  д-ра юр. наук. – М., 2016.
3. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией / Пер. с англ. А.П. Савина и Л.А. Савиной; под ред. А.П. Савина / Серия «Библиотека математического кружка». Вып.  14. – М.: Наука, 1978. – 224 с.
4. Крассов О.И. Земельный участок как объект природы и природный ресурс // Экологическое право. – 2013. – № 6. – С. 8–16.
5. Липски С.А. Законодательное регулирование землеустройства и кадастровых отношений в постсоветской России. – М.: ИНФРА-М, 2020. – 216 с. – (Научная мысль). – ISBN 9785160156477. – DOI: 10.12737/1044648
6. Лысенко А.Н. Имущество в гражданском праве России. – М.: Деловой двор, 2010. – 200 с. – ISBN 9785915500937.
7. Российское гражданское право: учебник: в 2 т. Т. I: Общая часть. Вещное право. Наследственное право. Интеллектуальные права. Личные неимущественные права / Отв. ред. Е.А. Суханов. – М.: Статут, 2011.
8. Салов С.М., Самойленко Д.В. Цифровая фотография: использование в судебной землеустроительной экспертизе // Аграрное и земельное право. – 2019. – № 4(172). – С. 113–117.
9. Самойленко Д.В. Характеристики земельного участка как индивидуально определенной вещи // Хозяйство и право. – 2021. – № 10(537). – С. 95–107.
10. Салов С.М., Серегина Е.В., Фаткулина А.В., Самойленко Д.В. Ситуации, возникающие при осуществлении правосудия и требующие применения специальных знаний из сферы землеустройства  // Землеустройство, кадастр и мониторинг земель. – 2021. – № 7. – С. 536–543. – DOI: 10.33920/sel-04-2106-09
11. Федоринов А.В., Астахова Т.А. Экспертная деятельность в области землеустройства // Землеустройство, кадастр и мониторинг земель. – 2020. – № 12(191). – С. 25–31. – DOI:  10.33920/sel-04-2012-03
12. Фон Бар К. Для чего нужно понятие земельного участка (Grundstück) и что это такое? О сложностях установления содержания понятия «вещь» в Европейском вещном праве // Вестник гражданского права. – 2018. – Т. 18. – № 5. – С. 113–138.